Simplifier des racines carrées - Corrigé

Énoncé

Mettre les nombres suivants sous la forme $a\sqrt{b}$  avec $a$  et $b$  entiers positifs, où $b$ est le plus petit possible :  $\sqrt{3200}$  ;  $\sqrt{5508}$  ;  $\sqrt{7605}$  ;  $\sqrt{130438}$ .  

Solution

On a :
​​​​​​​ $\begin{array}{r}\begin{array}{rl}3200& 2\\ 1600& 2\\ 800& 2\\ 400& 2\\ 200& 2\\ 100& 2\\ 50& 2\\ 25& 5\\ 5& 5\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $3200=2^7\times 5^2$ .
On en déduit que $\begin{array}{r}\sqrt{3200}=\sqrt{2^7\times 5^2}=\sqrt{2^6\times 2\times 5^2}=2^3\times \sqrt{2}\times 5=40\sqrt{2}\end{array}$ . 

On a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}5508& 2\\ 2754& 2\\ 1377& 3\\ 459& 3\\ 153& 3\\ 51& 3\\ 17& 17\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $5508=2^2\times 3^4\times 17$ .
On en déduit que $\begin{array}{r}\sqrt{5508}=\sqrt{2^2\times 3^4\times 17}=\sqrt{2^2\times 3^4\times 17}=2\times 3^2\times \sqrt{17}=18\sqrt{17}\end{array}$ . 

On a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}7605& 3\\ 2535& 3\\ 845& 5\\ 169& 13\\ 13& 13\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $7605=3^2\times 5\times {13}^2$ .
On en déduit que  $\begin{array}{r}\sqrt{7605}=\sqrt{3^2\times 5\times {13}^2}=3\times \sqrt{5}\times 13=39\sqrt{5}\end{array}$ .

On a :
$\begin{array}{r}\begin{array}{rl}130438& 2\\ 65219& 7\\ 9317& 7\\ 1331& 11\\ 121& 11\\ 11& 11\\ 1\end{array}\end{array}$  donc $130438=2\times 7^2\times {11}^3$ .
On en déduit que  $\begin{array}{r}\sqrt{130438}=\sqrt{2\times 7^2\times {11}^3}=\sqrt{2\times 7^2\times {11}^2\times 11}=\sqrt{2}\times 7\times 11\times \sqrt{11}=77\sqrt{22}\end{array}$ .