Simplifier des racines carrées - Corrigé

Énoncé

Mettre les nombres suivants sous la forme \(a\sqrt{b}\)  avec \(a\)  et \(b\)  entiers positifs, où \(b\) est le plus petit possible :  \(\sqrt{3\,200}\)  ;  \(\sqrt{5\,508}\)  ;  \(\sqrt{7\,605}\)  ;  \(\sqrt{130~438}\) .  

Solution

On a :
​​​​​​​ \(\begin{align*}\begin{array}{r|l}3~200&2\\ 1~600&2\\ 800&2\\ 400&2\\ 200&2\\ 100&2\\ 50&2\\ 25&5\\ 5&5\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(3~200=2^7 \times 5^2\) .
On en déduit que \(\begin{align*}\sqrt{3~200}=\sqrt{2^7 \times 5^2}=\sqrt{2^6 \times 2 \times 5^2}=2^3 \times \sqrt{2} \times 5=40\sqrt{2}\end{align*}\) . 

On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}5~508&2\\ 2~754&2\\ 1~377&3\\ 459&3\\ 153&3\\ 51&3\\ 17&17\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(5~508=2^2 \times 3^4 \times 17\) .
On en déduit que \(\begin{align*}\sqrt{5~508}=\sqrt{2^2 \times 3^4 \times 17}=\sqrt{2^2 \times 3^4 \times 17}=2 \times 3^2 \times \sqrt{17}=18\sqrt{17}\end{align*}\) . 

On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}7~605&3\\ 2~535&3\\ 845&5\\ 169&13\\ 13&13\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(7~605=3^2 \times 5 \times 13^2\) .
On en déduit que  \(\begin{align*}\sqrt{7~605}=\sqrt{3^2 \times 5 \times 13^2}=3 \times \sqrt{5} \times 13=39\sqrt{5}\end{align*}\) .

On a :
\(\begin{align*}\begin{array}{r|l}130~438&2\\ 65~219&7\\ 9~317&7\\ 1~331&11\\ 121&11\\ 11&11\\ 1\end{array}\end{align*}\)  donc \(130~438=2 \times 7^2 \times 11^3\) .
On en déduit que  \(\begin{align*}\sqrt{130~438}=\sqrt{2 \times 7^2 \times 11^3}=\sqrt{2 \times 7^2 \times 11^2 \times 11}=\sqrt{2} \times 7 \times 11 \times \sqrt{11}=77\sqrt{22}\end{align*}\) .